• Az így kapott téglalapok magasságai az xk pontokban vett függvényértékek: f(xk). ΔTk A görbe vonalú trapéz területe Az osztópontok n számának növelésével pontosabb eredményt kapunk. Példa • Az y=x2 függvény alatti terület a [0, 1] intervallumon. • Osztópontok: A határozott integrál Az f függvény [a, b] intervallumon értelmezett határozott integrálja az összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük levő távolság n növelésével zérushoz közelít. A határozott integrál jele Felső határ Integrálási változó Integráljel Alsó határ Integrandus helyett vagy Az integrálási változó • A függvény egy adott intervallumon vett határozott integráljának értéke a függvénytől függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a független változóját. Függvények közötti terület | Matekarcok. • Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az x-et, nyugodtan írhatjuk Geometriai értelmezés • Az y=f(x) pozitív függvény [a, b] intervallumon vett határozott integrálja egyenlő az adott intervallumon vett görbe vonalú trapéz területével.
A két háromszög szimmetrikus az egyenesre, emiatt az négyszög átlói hosszúságúak és merőlegesek egymásra, így a négyszög területe átlóik szorzatának a felével egyenlő (14. a szár felezőpontjára tükrözzük. A trapéz tükörképével együtt az paralelogrammát alkotja, mivel a tükrözés miatt és párhuzamos és egyenlő szakaszok. Az szakasz a középvonal kétszerese. Az négyszög paralelogramma, mert van két egyenlő, párhuzamos oldala, és ui. Trapéz Terület Számítás: Lindab Trapéz Lemez. a tükrözés miatt párhuzamosak. Ebből következik, hogy és párhuzamosak és egyenlők,, azaz, amit bizonyítanunk kellett. Az paralelogramma területe kétszerese a trapéz területének; s mivel a paralelogramma területe ( a trapéz magassága, azaz a párhuzamos oldalak távolsága), ebből a trapéz területe: azaz: a trapéz területe az alapok számtani közepének és magasságának a szorzatával egyenlő: vagy: a trapéz területe a középvonal és a magasság szorzata. Ha a párhuzamos oldalak felezőpontjait összekötő egyenes szimmetriatengelye a trapéznak, akkor a trapézt tengelyesen szimmetrikus trapéznak vagy egyenlő szárú trapéznak nevezik (egyéb elnevezéseket is használnak: húrtrapéz, körbe írt trapéz) (14.
A függvények metszéspontjainak meghatározása. Ez leggyakrabban egyenlet megoldást jelent. Az egyes függvények alatti területek meghatározása. Általában a Newton-Leibniz formula segítségével A területek különbsége a közrefogott terület mértéke. Feladat: Határozzuk meg az s(x)=2sin(x) és a p(x)=(x-1) 2 függvények által közrefogott terület nagyságát! Első lépésként meg kell határozni a két függvény metszéspontjait. Ez a két függvény szabálya által meghatározott egyenlet megoldását kívánna meg. De a 2⋅sin(x)=(x-1) 2 egyenlet megoldása nem egyszerű feladat. Itt segíthet a számítástechnika illetve valamilyen közelítő eljárás. A metszéspontok: M 1 (0. 27; 0. 53) és M 2 (2. 25; 1. 56). Az integrálást tehát a [0. 27; 2. 25] intervallumon kell elvégezni. Második lépésként meghatározzuk a függvények alatti területeket a a Newton-Leibniz formula segítségével a [0. 27;2. Kerület, terület. 25] intervallumon. A 2⋅sin(x) függvény görbe alatti terület meghatározása a \( \int_{0. 27}^{2. 25}{2⋅sin(x)dx} \) integrál kiszámításával.
Parciális integrálás Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét. Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek által határolt síkrész területét. Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét. Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület nagyságát: A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok. A grafikonok felrajzolása, a keresett terület azonosítása. Trapeze terület számítás. Az integrálok kiszámítása. Területszámítás integrállal Területszámítás integrállal A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok: A grafikon felrajzolása Területszámítás integrállal Az integrálok kiszámítása: Felső határoló görbe Alsó határoló görbe A forgástestek térfogata • Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának x=a és x=b közötti részének x tengely körüli forgatásával egy forgástestet kapunk.
Kerület, terület Kerület és terület számítása Háromszög kerülete és területe Gyakorlás Trapéz kerülete és területe Paralelogramma kerülete és területe Rombusz kerülete és területe Deltoid kerülete és területe Téglalap és négyzet kerülete és területe Kör kerülete és területe Gyakorló feladatok a teljes témakörben Mit tudok? Készül...