Okostankönyv Négyzet alap gla hálója Négyzet alapú gúla térfogata Matematika - 8. osztály | Sulinet Tudásbázis Négyzet alapú gúla felszíne A szabályos négyzet alapú gúla térfogatát lehet szemléltetni. Az általános módszer a szemléltetésre az, hogy veszünk egy négyzetes hasábot, amelynek az alapja és a magassága megegyezik a szabályos négyzet alapú gúláéval; majd a nyitott gúlát megtöltjük például vízzel. Háromszor tölthetjük át a vizet a hasábba, amivel az éppen tele lesz. Ebből levonhatjuk azt az – egyébként helyes – következtetést, hogy a gúla térfogata harmada a négyzetes oszlop térfogatának. A térfogat kiszámolása tehát: alapterület szorozva a magassággal, osztva hárommal. A matematikai értelemben vett bizonyítástól most eltekintünk. A szabályos négyzet alapú gúla térfogata nem függ a gúla szabályosságától. Két azonos alapterületű és magasságú gúla térfogata egyenlő. Ezt is csak bizonyítás nélkül szemléltetjük, de használni fogjuk a feladatok megoldása során. Egy négyzetes hasábot (sőt akármilyen hasábot) fel tudunk darabolni három darab gúlára, ahol minden gúla térfogata éppen harmada a hasáb térfogatának.
96. Gúla Segítséget 1. Négyzet alapú gúla 761. Számítsa ki annak a szabályos négyoldalú gúlá nak a térfogatá t, amelynek alapéle 16 cm, oldaléle 12 cm! Megoldás: Keresett mennyiség: Térfogat = `color(blue)(V_(gúla) =? )` Alapadatok: alapél = `color(red)(a = 16cm)` oldalél = `color(red)(b = 12cm)` Képletek: 1. Felszín: `A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2` 2. Térfogat: `color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3` `color(mediumseagreen)(m) =? ` 3. Pitagorasz-tételek: `(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = m_o^2` `color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)` `(color(red)(a)/2)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)` Vázlat: ² /2 + m² = ² m = cm V = cm³ 762. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 8 cm, magassága 20 cm. Számolja ki a gúla felszíné t! Felszín = `color(blue)(A_(gúla) =? )` alapél = `color(red)(a = 8cm)` magasság = `color(red)(m = 20cm)` Képletek: `color(blue)(A_(gúla)) = a^2 + 4*(a*m_o)/2` `color(mediumseagreen)(m_o) =? ` `V_(gúla) = (a^2*m)/3` `(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)` `color(red)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2` `(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2` ² /4 + ² = m o ² m o = cm A gúla = + = cm² 763.
Az oldalélek hossza különböző lehet. Ha az alapsokszög nem forgásszimmetrikus, akkor nincs értelme egyenes gúláról beszélni, mivel egy háromszög alapú gúla csúcsa éppen a háromszög körül írt kör középpontja felett van. Ha a háromszög tompaszögű, akkor ez a háromszögön kívülre esik, ami ellentmond az egyenes szó alkalmazásának. A szabályos gúla olyan egyenes gúla, aminek az alapja szabályos sokszög. A szabályos tetraéderek és a jól ismert négyzet alapú piramisforma is szabályos gúla. A szabályos gúla felszíne:, ahol A az alap területe, k az alap kerülete és h a palást hossza (vagyis a palástot alkotó háromszög magassága, azaz a gúla oldalmagassága). Súlypontja a magasságának az alaphoz közelebbi negyedelőpontja. Ferde gúla [ szerkesztés] Egy szabályos sokszög alapú gúla ferde, ha: az élei nem egyforma hosszúak a magasság talppontja nem esik egybe az alap szimmetriaközéppontjával a csúcsot és az alap középpontját összekötő szakasz nem merőleges az alap síkjára A talppont éppúgy lehet az alapon belül, mint kívül.
Legyen egy ilyen gúla alapjának élhossza a. Ekkor a gúla magassága: az oldallapok magassága: a (maximális) térfogat: A térfogatszámítás bizonyítása [ szerkesztés] Elemi geometriai bizonyítás [ szerkesztés] Az elemi geometriai bizonyítás három lépésből áll: Két ugyanolyan alapterületű és egyforma magasságú gúla térfogata megegyezik. Ez a Cavalieri-elvvel és a középpontos hasonlóság tulajdonságaival bizonyítható. A tetraéderek térfogata a képlettel számítható, hiszen egy háromszög alapú hasáb három egybevágó tetraéderre bontható. A gúlákat tetraéderekre lehet bontani az alaplap háromszögelésével és a kapott csúcsokat a gúla csúcsával összekötve. A tetraéderek magassága megegyezik az eredeti gúla magasságával, alapjaik összterülete megegyezik az eredeti gúla alapterületével, így a képlet általánosan is igaz. Egy másik megokolás szerint van egy tetraéder, ami ugyanolyan alapterületű és magasságú, mint az eredeti gúla, így a térfogatuk is egyenlő. Érdemes még megemlíteni, hogy a kocka három egybevágó négyzet alapú gúlára osztható, amiknek csúcsai a kocka csúcsaiban futnak össze.
Szüreteléskor olyan csonka gúla alakú szőlőtárolót használnak az egyik pincészetben, 2 m, fedőéle 4 m, magassága 3 m, teteje nincs. Szüret előtt minden évben lefestik a tárolóedényt kívülről és belülről is. Hány m² -t kell lefesteni, ha összesen 30 ilyen edényünk van ( darabszám)? Alaplap = `color(blue)(T =? )` Palást = `color(blue)(P =? )` alapél = `color(red)(a = 2m)` fedőél = `color(red)(c = 4m)` magasság = `color(red)(m = 3m)` darabszám = `color(red)(n = 30)` Képletek: `color(blue)(T) = color(red)(a^2)` `color(blue)(P) = 4*(color(red)((a+c))*m_o)/2` `color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)` `color(red)((a-c)^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2` `color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2` 4. Összes: `A = 2*n*(T+P)` `T_(alap) =` m² A = m² A_30 = m² NÉV: JEGY: IDŐ: Ssz. Max pont Aktuális pont Paraméter Összesen: -
Maslach kiégés kérdőív Dr surdy miklós ügyvéd