Képlettel: D EFINÍCIÓ: Egy nemnegatív valós a szám négyzetgyökén azt a nemnegatív valós számot értjük, amelynek négyzete a. Képlettel: 2 () a = a, ahol a ≥ 0, a ≥ 0. A páros és páratlan gyökkitevõre vonatkozó definíciók közötti különbségbõl adódóan: 2 k + 1 2 k + () 1 a =Ω Ω és a ( a) =, pl. a 6 ( 5) − 6 =, de 5 5 ( 5) − 5 =−. 5 V. A négyzetgyök azonosságai T ÉTEL: ab ⋅= a ⋅ b, ha a, b nemnegatív valós számok. Szorzat négyzetgyöke egyenlõ a tényezõk négyzetgyökének szorzatával. Tehát szorzatból tényezõnként vonhatunk gyököt. B IZONYÍTÁS: Vizsgáljuk mindkét oldal négyzetét: ab ⋅) =⋅ ab, a négyzetgyök definíciója miatt. 2 2 ( 2 a ⋅ b)()() = a ⋅ b =⋅ ab, a szorzat hatványának azonossága és a négyzetgyök definíciója miatt. A két oldal négyzete egyenlõ. Ha mindkét oldal értelmes, vagyis nemnegatív, akkor a hatványozás azonosságából követke- zik a két oldal egyenlõsége. Matematika - 7. osztály | Sulinet Tudásbázis. T ÉTEL: a = a, ha a, b nemnegatív valós számok, b π 0. b b Tört négyzetgyöke egyenlõ a számláló és a nevezõ négyzetgyökének hányadosával.
A kiterjesztést azonban úgy akarjuk értelmezni, hogy a hatványozás pozitív egész kitevőre megismert azonosságai érvényben maradjanak, ezért a 0, ill. a negatív egész kitevős hatványokat a racionális számok körében a következő módon értelmezzük: a) Nulla, ill. negatív kitevős hatvány alapja nem lehet. A kiadvány megtekintéséhez regisztráljon és lépjen be! * Regisztráció és belépés után 30 percig előfizetés nélkül olvashatja a kiválasztott művet, majd 6 és 12 hónapos előfizetéseink közül választhat. előfizetés 6 hónapra 6990 Ft (1165 Ft/hó) 12 hónapra 9990 Ft (833 Ft/hó) Intézményi hozzáférés: (az itt felsorolt intézmények hálózatain) Több száz tankönyv és szakkönyv vizsgázáshoz, kutatáshoz, dolgozatíráshoz. • 28 tudományterület • online elérés minden eszközről • folyamatosan bővülő címlista • egyszerű és gyors keresés • egyéni jegyzetek elhelyezése • dokumentumrészek másolása és nyomtatása • jogtiszta, hiteles és mindig friss tartalom Online. Bárhol. Bármikor. Hatvanyozas fogalma és tulajdonságai . *Amennyiben Ön már regisztrált felhasználó a weboldalon, az ottani felhasználónevét és jelszavát itt is használhatja, illetve a -n létrehozott regisztrációja ott is érvényes lesz.
Tue, 03 Aug 2021 07:08:06 +0000 Matematika - A hatványozás kiterjesztése - MeRSZ 1. Hatvány fogalma pozitív egész kitevőre. Ha a hatványozás kitevője pozitív egész szám, akkor a hatványozást egy olyan speciális szorzat ként definiáltuk, amelyben a tényezők megegyeznek és a tényezők száma a hatványkitevő értékével egyezik, azaz \( a^{3}=a·a·a \) . Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai. Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, hogy a kitevőben 0, illetve negatív egész szám is lehessen. Olyan új definíciót kellett adni, hogy az eddig megismert azonosságok érvényben maradjanak. Oktatási Hivatal. ( Permanencia-elv. ) 2. Hatvány fogalma nulla kitevő esetén. Definíció: Bármely 0-tól különböző valós szám nulladik hatványa=1. Formulával: a 0 =1, a∈ℝ\{0} Tehát 0 0 nincs értelmezve. Ez a definíció megfelel az eddigi azonosságoknak is, hiszen a n:a n =a n-n =a 0 =1, bármilyen pozitív egész n kitevő esetén, és bármilyen 0-tól eltérő valós számra. 3. Hatvány fogalma negatív egész kitevő esetén.
Itt a kitevők összeszorzásánál a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezzük. A számlálóban az azonos alapú hatványokat közös alapra vesszük, a kitevők összeadódnak. Azaz: Így a számláló legegyszerűbb alakban: Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk egymásból: A végeredmény: \( a^{\frac{8}{24}} \) , azaz \( a^{\frac{1}{3}} \) , ami \( \sqrt[3]{a} \) alakba is írható.
Hatvány fogalma pozitív egész kitevő esetén. Ha egy szorzat azonos tényezőkből épül fel, azt rövidebben hatványalakban írjuk fel. Bár a matematikusok már a középkorban is használták a hatványozást, de a középkorban Descartes volt az, aki elkezdte a hatványkitevők használatát, és a· a helyett a²-t írt. Definíció: Az a n olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a, ahol a tetszőleges valós szám, n pedig 1-nél nagyobb pozitív egész szám. Bármely valós szám első hatványa önmaga. Formulával: a n =a· a· a· …. b) Minden szám nulla kitevős hatványa -gyel egyenlő. c) Minden szám negatív egész kitevős hatványa az alap reciprokának ellentett kitevős hatványával egyenlő. Általánosságban tehát: Pl. :. Bebizonyítható, hogy az egész kitevős hatványok körében is érvényben maradnak a pozitív egész kitevős hatványokra megismert azonosságok, de már nem kell kikötnünk, hogy az osztandó kitevője nagyobb legyen az osztó kitevőjénél; ügyelnünk kell azonban arra, hogy a nulla alapra nem terjesztettük ki a nulla, ill. negatív kitevős hatványok fogalmát.
Hatvány fogalma racionális kitevő esetén. Definíció: Bármely 0-tól különböző valós szám racionális törtkitevőjű, azaz hatványa egyenlő az alap m-edik hatványából vont n-edik gyök. Formulával: \( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}} \), ahol a∈ℝ +, n, m∈ℤ, n>1 Példa: \( 16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16^{3}}=\sqrt[4]{2^{12}}=2^{\frac{12}{4}}=2^{3}=8 \) Ez a definíció is megfelel az eddig megismert azonosságoknak, hiszen: \( 16^{\frac{3}{4}}={\left( 2^{4} \right)}^\frac{3}{4}=2^{3}=8 \) 5. Hatvány fogalma irracionális kitevő esetén. Az eddigi meghatározások nem adnak választ arra, hogy mit jelent a \( 2^{\sqrt{3}} \). Az irracionális kitevőjű hatvány pontos definíciója nem középiskolai tananyag. Megmutatható, érzékeltethető azonban a kétoldali közelítés segítségével, hogy az irracionális kitevőjű hatvány létezik, és az eddig megismert azonosságok érvényben maradnak. Feladat: Végezze el a következő műveleteket! (a>0, b>0) (Összefoglaló feladatgyűjtemény 397. feladat. ) Megoldás: A számlálóban tényezőnként hatványozva, a nevezőben a hatvány hatványozása azonosságot alkalmazva: Most a számlálóban felbontjuk a zárójeleket, itt is a hatvány hatványozása azonosságot alkalmazzuk.