A valós együtthatós negyedfokú egyenlet megoldása Ludovico Ferrari szerint Szerkesztés Az negyedfokú egyenlet megoldását Ludovico Ferrari (1522–1565) két másodfokú egyenlet megoldására vezette vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni. A harmadfokú egyenlet:, ahol. Megoldása a Cardano-képlettel történik. z-t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós y megoldásához b/6-ot hozzáadjuk: z = y + b/6. A másodfokú egyenletek: Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha. Ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek Szerkesztés Niels Henrik Abel (1802-1829) bebizonyította, hogy az ötödfokú esetben nem található megoldóképlet. Ez nem azt jelenti, hogy nincs megoldás, hanem, hogy nincs olyan véges lépés után véget érő számítási eljárás, amely csak a négy algebrai műveletet továbbá a gyökvonást használja és általános módszert szolgáltatna a gyökök megkeresésére (azaz minden egyenlet esetén ugyanazzal az eljárással előállíthatnánk a gyököket).
Állandó érték c a grafikonon az egyenlet meghatározza a parabola függvény metszéspontja az y tengellyel. Az alábbiakban egy parabolikus grafikon látható az állandó értékek változásával c. A másodfokú egyenlet (PK) gyökerei A másodfokú egyenlet megoldását a-nak nevezzük kar - a másodfokú egyenlet gyöke. Különböző PK Roots A PK gyökfajták könnyen megtalálhatók a D = b2 - 4ac általános képlet segítségével az ax2 + bx + c = 0 másodfokú általános egyenletből. Az alábbiakban bemutatjuk a másodfokú egyenletek gyökereit. 1. Valódi gyökér (D> 0) Ha a PK értéke D> 0, akkor valódi egyenletgyökereket eredményez, de különböző gyökerekkel rendelkezik. Más szóval, az x1 nem azonos az x2-vel. Példa a valós gyökéregyenletre (D> 0) Keresse meg az x2 + 4x + 2 = 0 egyenlet gyökér típusát. Település: a = 1; b = 4; és c = 2 D = b2 - 4ac D = 42 - 4 (1) (2) D = 16 - 8 D = 8 Tehát mivel a D> 0 értéke, a gyökér valódi gyökér típusú. 2. A valós gyök megegyezik x1 = x2 (D = 0) Ez egy olyan másodfokú gyökérfajta, amely azonos értékű gyökereket hoz létre (x1 = x2).
A másodfokú egyenlet egy másodrendű polinom 3 együtthatóval - a, b, c. A másodfokú egyenletet a következő adja: ax 2 + bx + c = 0 A másodfokú egyenlet megoldását 2 x 1 és x 2 szám adja meg. A másodfokú egyenletet a következő formára változtathatjuk: ( x - x 1) ( x - x 2) = 0 Másodfokú képlet A másodfokú egyenlet megoldását a másodfokú képlet adja meg: A négyzetgyök belsejében lévő kifejezést diszkriminánsnak nevezzük, és Δ-vel jelöljük: Δ = b 2 - 4 ac A másodfokú képlet megkülönböztető jelöléssel: Ez a kifejezés azért fontos, mert elmondhatja nekünk a megoldást: Ha Δ/ 0, akkor 2 valós gyök van x 1 = (- b + √ Δ) / (2a) és x 2 = (- b-√ Δ) / (2a). Ha Δ = 0, akkor van egy gyök x 1 = x 2 = -b / (2a). Amikor Δ <0, nincsenek valódi gyökerek, 2 komplex gyök van: x 1 = (- b + i√ -Δ) / (2a) és x 2 = (- bi√ -Δ) / (2a). 1. probléma 3 x 2 +5 x +2 = 0 megoldás: a = 3, b = 5, c = 2 x 1, 2 = (-5 ± √ (5 2 - 4 × 3 × 2)) / (2 × 3) = (-5 ± √ (25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6 x 1 = (-5 + 1) / 6 = -4/6 = -2/3 x 2 = (-5-1) / 6 = -6/6 = -1 2. probléma 3 x 2 -6 x +3 = 0 a = 3, b = -6, c = 3 x 1, 2 = (6 ± √ ((-6) 2 - 4 × 3 × 3)) / (2 × 3) = (6 ± √ (36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6 x 1 = x 2 = 1 3. probléma x 2 +2 x +5 = 0 a = 1, b = 2, c = 5 x 1, 2 = (-2 ± √ (2 2 - 4 × 1 × 5)) / (2 × 1) = (-2 ± √ (4-20)) / 2 = (-2 ± √ (-16))) / 2 Nincsenek valós megoldások.
Viete-formulák, másodfokú kifejezés gyöktényezős alakja [] A másodfokú egyenlet gyökei (megoldásai) és együtthatói között adnak meg összefüggéseket az ún. Viete-formulák: Legyen az egyenlet alakban adva, és jelöljük a gyökeit -vel. Ekkor:,. A formulák azonnal adódnak, ha a megoldóképlet alapján összeadjuk illetve összeszorozzuk a két gyököt. Mégis nagyon hasznosak lehetnek bizonyos típusú feladatok megoldása során. Erre mutatunk most két példát. Mely k paraméterre lesz az alábbi egyenlet egyik gyöke: 2? Megoldás: Jelöljük a másik gyököt y -nal és írjuk fel a Viete-formulákat:
Harmadfokú egyenlet Szerkesztés A harmadfokú esetre elméletben legalábbis a Girolamo Cardano (1501-1576) nevét viselő úgynevezett Cardano-képlet használható. A Cardano-képlet a következő: A harmadfokú egyenlet valós megoldásait a megoldóképlettel csak úgy találhatjuk meg, ha a számítás során kilépünk a valós számkörből és, ha csak átmenetileg is, de belépünk a komplex számok világába. A harmadfokú egyenlet megoldásának ennélfogva igen nagy a tudománytörténeti jelentősége. Negyedfokú egyenlet Szerkesztés A negyedfokú esetre a megoldóképlet Cardano tanítványától, Ludovico Ferraritól származik. Az ő módszere a teljes négyzetté alakítás volt. Egy évszázad múlva René Descartes Értekezés a módszerről című művében közölt zárt képletének alapja két másodfokú polinom szorzata volt, ahol a két elsőfokú tag egymás inverze volt (ti. így kiesik a harmadfokú tag). A negyedfokú egyenlet megoldóképlete csak egy érdektelen részlet a matematikatörténetben a harmad- és az ötödfokú egyenlet megoldóképletéhez képest.
=d*b` visszahelyettesítve az (1) képletbe az x is kiszámolható, de egyetlen feltétel, hogy `a! =0` Képletek megjelenítésére skriptet használtam.
A nyári sütemények közül az utóbbi tíz éve egyik biztos befutója lett a franciák tejes pitéje, a clafoutis, amely gyorsan elkészíthető, bármilyen szezonális gyümölccsel működik és mindenki imádja. Francia tejes pite gyümölcsökkel en. A clafoutis titka a frissességében van, ez az a sütemény, amit bekeverni pillanatok kérdése és miután kisült - szinte forrón - tányérra is tehetjük. A clafoutis tésztája A francia tejes pite tésztájában nincs semmi extra, annyi a titka a jó tejes pitének, hogy nem szabad belőle kispórolni a tojást és teljes tejjel, esetleg tejszínnel és tejjel kell kikeverni a tésztáját. A pite tésztájához ezen kívül kell liszt, amiből nyugodtan választhatjuk a piskótákhoz használt réteslisztet, illetve egy csipetnyi só, az ízek végett és persze cukor. Az alapanyagokat bizonyos mértékben kedvünk szerint variálhatjuk: a lisztet kicserélhetjük vagy felezhetjük őrölt csonthéjasokkal, porított zabpehellyel, búzadarával, a tej vagy tejszín helyett magtejekkel, kókusztejjel, joghurttal is készíthetjük a süteményünket, a cukrot bármilyen – általunk szimpatikusnak talált – édesítőszerre lecserélhetjük.
Hidegen is nagyon finom, és persze más gyümölcsökkel is: almával, meggyel, cseresznyével, szilvával, barackkal… Jó étvágyat! 🙂 Ha szeretitek a gyors, egyszerű receptek, akkor találkozzunk a Facebook oldalamon is! 🙂 Rupáner-Gallé Margó Hivatalos Oldala
Eddig 0 embernek tetszett ez a recept
30-40 perc alatt megsütjük. Akkor van készen, ha már barnult a teteje. Nem érdemes túlsütni, mert kiszárad. Miután kihűlt, porcukorral meghintve tálaljuk. A tejes pite után kipróbálnád a többi kedvenc receptünket is? Akkor nézz körbe RECEPTEK rovatunkban! Újdonságokért kövessétek Facebook és Instagram oldalunkat is! Recept: Öveges Borbála Fotók: Halász Adrienn
Hozzávalók: 50 dkg krumpli 15 dkg húsos szalonna 1 fej hagyma 4 dl tej 14 dkg liszt 4 egész tojás só, bors Elkészítés vajazzunk ki egy magas falú sütőedényt vágjuk vékony szeletekre a krumplit, a hagymát és a szalonnát a többi hozzávalóból készítsünk sűrű palacsintatésztát (adhatunk hozzá friss petrezselymet vagy fokhagymát) melegítsük elő a sütőt 180 Celsius fokra helyezzük a sütőedénybe a krumplit, hagymást és szalonnát öntsük rájuk a nyers tésztát (a tetejére szórhatunk reszelt sajtot) 30-40 perc alatt süssük pirosra