3. A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések (Viete formulák) (emelt szintű) Előzmények: A másodfokú egyenlet különböző alakjai és típusai, algebrai és grafikus megoldása és diszkriminánsa Viete formulák Ha a a x 2 +bx+c=0 ( a≠0) másodfokú egyenlet az egyenlet két valós gyöke x 1 és x 2 akkor • a két gyök összege: x 1 + x 2 = −b/a, • a két gyök szorzata: x 1 x 2 = c/a. Paraméteres feladatok 1. Határozza meg a c értékét úgy, hogy a 4x 2 - 8x + c = 0 egyenletnek a/ az egyik gyöke nulla legyen; b/ az egyik gyöke pozitív legyen; c/ az mindkét gyöke pozitív legyen; d/ az egyik gyöke -2 legyen! Megoldás: Az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenleben szereplő paraméterek: a = 4 b = -8 c Számítsuk ki a diszkriminánst: D = b 2 - 4ac = (-8) 2 - 4×1×c = 64 - 4c = 4(16-c) Az egyenletnek akkor és csakis akkor van megoldása, ha a diszkriminánsa nagyobb vagy egyenlő, mint nulla (D ≥0), azaz 16-c ≥ 0. Ha 16 ≥ c, akkor a 4x 2 - 8x + c = 0 másodfokú egyenlet megoldható. a/ Ha az egyik gyöke nulla, akkor a gyökök szorzata nulla: x 1 x 2 = c/a = 0. c/4 = 0, ha c=0.
Az egyismeretlenes lineáris egyenletek gyökeinek számát nagyon egyszerűen az ismeretlen algebrai kifejezésével érhetjük el: ennek függvényében három verzió lehetséges nincs gyöke (ellentmondás) maximum 1 valós gyöke van végtelen sok megoldása van (azonosság; lineáris ekvivalencia). Másodfokú (kvadratikus) egyenletek [ szerkesztés] Tekintsük alapul a másodfokú egyenlet együtthatóit az általános jelölés alapján ax 2 + bx + c = 0 formájúnak! Másodfokú egyenleteknek legfeljebb 2 gyöke lehet, minimum 0. Ennek értelmében 3 lehetséges kimenetele lehet egy másodfokú egyenlet megoldásának. A gyökök mennyisége [ szerkesztés] Az egyenletnek 2 gyöke van 1 gyöke van nincs (valós) gyöke. A gyökök jellege [ szerkesztés] csak valós gyökei vannak hibrid gyökei vannak (valós és komplex gyökök egyaránt) csak komplex gyökei vannak. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa [ szerkesztés] Bármely másodfokú egyenlet diszkriminánsát meghatározhatjuk a képlettel (a fenti jelölések alapján). A diszkrimináns értékének értelmezése az alábbiak alapján történik: D > 0: Az egyenletnek 2 valós gyöke van; D = 0: Az egyenletnek 1 valós gyöke van; D < 0: Az egyenletnek 2 komplex gyöke van.
A másodfokú egyenlet redukált alakjának diszkriminánsa:. Harmadfokú egyenletek [ szerkesztés] A harmadfokú egyenlet megoldóképlete megtekinthető itt. Negyedfokú egyenlet [ szerkesztés] A negyedfokú egyenlet megoldóképlete megtekinthető itt. Külső hivatkozások, források [ szerkesztés] Egyenletek a Négyjegyű függvénytáblázatok (Dr. Hack Frigyes Ph. D. ) ISBN 978-963-19-5703-7
Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd. Zseniális bármilyen matek ismeret elsajátításához. Olyan weboldal, ami még egy vak lovat is megtanítana integrálni. Konkrétan a hetedikes öcsém megtanult deriválni, ez elég bizonyíték, hogy az oldal érthetően magyaráz. Értelmes, szórakoztató, minden pénzt megér.
Ez a szócikk szaklektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi. Ha nincs indoklás a vitalapon, bátran távolítsd el a sablont! A diszkrimináns szó jelentése: előre megítélés, eldöntés, döntő tényező. A matematika területén magasabb fokú egyenletek megoldása során alkalmazzuk, ahol az adott egyenlet megoldóképletének szerves része maga, a diszkrimináns képlete. A diszkrimináns jele. A diszkrimináns a gyakorlatban az adott magasabb fokú egyenletek gyökeinek számát határozza meg, dönti el. Mivel az algebra alaptétele csak a maximálisan szóba hozható gyökök számát definiálja, a valós gyökök számát azonban nem, ezért is volt szükséges minden lineárisnál magasabb fokú egyenlet esetében a diszkrimináns felfedezésére. Lineáris egyenletek [ szerkesztés] A diszkriminánst csak lineárisnál magasabb fokú egyenletekre nézve értelmezzük. Az egyismeretlenes lineáris egyenletek gyökeinek számát nagyon egyszerűen az ismeretlen algebrai kifejezésével érhetjük el: ennek függvényében három verzió lehetséges nincs gyöke (ellentmondás) maximum 1 valós gyöke van végtelen sok megoldása van (azonosság; lineáris ekvivalencia).