Más egyéb nemlineáris magasabb fokú egyváltozós algebrai egyenlőtlenségektől való megkülönböztető jelzője, hogy az algebra alaptétele alapján a kvadratikus egyenleteknek legfeljebb 2 gyöke lehet: tehát a fentiek alapján a másodfokú egyenlőtlenségek megoldása max 2 szélsőérték között értelmezhető megoldáshalmazként jelentkezik vagy ugyanezen halmaz komplementereként. A másodfokú egyenlőtlenségek kiértékeléséről [ szerkesztés] Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során hasonló módon járunk el, mint a másodfokú egyenleteknél. Végeredményében a legfőbb különbség, hogy a megoldás nem egyszerűen 2 egyértelműen meghatározható valós gyökként értelmezhető, hanem a valós megoldás egy megoldáshalmazként jelentkezik. Az adott másodfokú polinomokat megoldjuk egyenletként a másodfokú egyenlet szócikkben megismert eljárás alapján, majd a kapott gyököket számegyenesen (vagy koordináta-rendszerben) ábrázoljuk (a könnyebb értelmezés érdekében). Már megismerhettük a másodfokú függvény grafikonját, mely mindig parabola és a számegyenesen a függvény zérushelyeit a két gyök határozza meg.
Például az egyenlet az egész számok halmazán ekvivalens az egyenlettel, a racionális számok halmazán viszont nem ekvivalensek Példa: Hol a hiba? Minden a -ra a 2 – a 2 = a 2 – a 2. A baloldalon kiemelünk a -t, a jobboldalon szorzattá alakítunk ( a – b)( a + b) alapján: a ( a – a) = ( a – a)( a + a), ebből a = a + a Speciálisan a = 1-re azt kapjuk, hogy 1 = 2. Az átalakítás során a – a = 0-val osztottunk, amit nem lehet, ezért kaptunk hamis eredményt. További egyenlet megoldási módok: - Grafikus módszer - Szorzattá alakítás - Alaphalmaz vizsgálata Egyenlőtlenségek Az egyenlőtlenségek megoldása abban különbözik az egyenletek megoldásától, hogy negatív számmal szorzás, osztás esetén az egyenlőtlenség irány megfordul. Figyeljünk arra, hogy egyenlőtlenség megoldását nem lehet behelyettesítéssel ellenőrizni, hiszen az egyenlőtlenségnek rendszerint végtelen sok megoldása van. Az egyenlőtlenségek megoldását célszerű számegyenesen ábrázolni, ez különösen a későbbiek során lesz hasznos, amikor több egyenlőtlenségnek eleget tevő számhalmazokat keresünk.
Olvasd le az egyenlőtlenség megoldását! INFORMÁCIÓ Megoldás: vagy máskáppen Igazoljuk számolással a megoldás helyességét! Írd fel a másodfokú kifejezés teljes négyzetes alakját! Ha készen vagy, akkor a megfelelő jelölőnégyzet segítségével ellenőrizd az eredményt! Megoldás: A teljes négyzetalak: Ezután vizsgáljuk meg az x tengellyel való közös pontok helyességét. Oldd meg az egyenlőtlenségből felírható másodfokú egyenletet. Megoldás: A gyökök: x 1 =2; x 2 =6. Ha van gyöke az egyenletnek, akkor ezek segítségével írd fel az egyenlet gyöktényezős alakját! A megfelelő jelölőnégyzet segítségével ellenőrizd az eredményed! Megoldás: A gyöktényezős alak: 0, 5(x-2)(x-6)=0. Hogyan módosul az egyenlőtlenség megoldáshalmaza, ha az x csak az egész számok köréből vehet fel értékeket? Megoldás: A megoldás: {3; 4; 5}. Milyen megoldáshalmaza lehet egy másodfokú egyenlőtlenségnek a valós számok halmazán? Megoldás: Üres halmaz, egy elemű halmaz, egy (nyílt vagy zárt) intervallum, két (nyílt vagy zárt) intervallum uniója, a valós számok halmaza (ez besorolható a nyílt intervallumok közé is).
Az ismeretlenekkel végzett műveletek túl absztraktak a 6. osztályosok többsége számára, nem felel meg az életkori sajátosságaiknak. Ezt az is igazolja, hogy az algebrai kifejezések, azaz a betűkkel számolás 7. osztályos tananyag, így enélkül mérlegelvvel egyenletmegoldást tanítani 6. osztályban sérti a tananyagok egymásra épülésének logikáját. Ne tanítsunk 7. osztály előtt egyenletmegoldást mérlegelvvel! Ekvivalens átalakítások Két egyenlet ekvivalens, ha megoldáshalmazuk megegyezik. A mérleggel szerzett tapasztalatokkal megalapozhatjuk az ekvivalens átalakításokat. Az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk, ha - az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadjuk, - az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a számot kivonjuk, - az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a 0-tól különböző számmal szorozzuk, - az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a 0-tól különböző számmal osztjuk. Ha nem ekvivalens átalakítást végzünk, akkor hamis gyök, vagy gyökvesztés léphet fel. Az, hogy egy átalakítás ekvivalens-e függ az alaphalmaztól!